Цена опциона: как её рассчитать

Что рассчитываем: премию или выплату?

Премия - это цена опциона сегодня, выплата - сумма, которую он даст в день исполнения, и путать эти два числа нельзя. Формула опциона вроде Блэка-Шоулза оценивает премию. Учебный центр OIC при этом напоминает, что реальную премию определяет рынок, а модель даёт только теоретическую цену.

Выплату считают без всяких моделей. У колла она равна цене актива на экспирации минус страйк, у пута - страйк минус цена актива, а отрицательный результат превращается в ноль. У расчётного опциона актив при исполнении не поставляется: по описанию Cboe, держатель получает разницу деньгами, умноженную на мультипликатор контракта.

На что рассчитывает покупатель колл-опциона? На то, что к экспирации актив уйдёт выше страйка больше чем на уплаченную премию. В нашем примере:

Покупатель рискует всей премией и не больше, у продавца опциона убыток может быть намного больше полученной премии. Внутренняя и временная стоимость, исполнение и экспирация разобраны в руководстве опционы: что это и как работают.

Какие данные нужны для формулы Блэка-Шоулза?

Формуле стоимости опциона нужны пять чисел, и все в согласованных единицах: цена актива S, страйк K, срок до экспирации T в годах, годовая безрисковая ставка r и годовая волатильность v в долях. OIC к этим входам добавляет дивиденды. Если актив платит их до экспирации, базовую формулу без поправки на дивиденды использовать уже нельзя.

S - это текущая цена базового актива, для акции её спотовая цена. Срок пересчитывают в годы: 90 дней дают 90/365, примерно 0,247. Волатильность 20% в формулу идёт как 0,20, а не как 20. Ошибка в единицах даёт правдоподобную, но неверную премию, и заметить её на глаз трудно.

d1 = (ln(S/K) + (r + v^2/2) * T) / (v * sqrt(T))
d2 = d1 - v * sqrt(T)
Колл = S * N(d1) - K * exp(-r*T) * N(d2)
Пут  = K * exp(-r*T) * N(-d2) - S * N(-d1)

N(x) - функция стандартного нормального распределения, в Excel это НОРМ.СТ.РАСП(x;ИСТИНА). Модель рассчитана на европейский опцион, который исполняется только в дату экспирации.

Как проверить цену опциона на учебном примере?

Посчитайте пример по шагам и сверьте итог паритетом колла и пута: разница их премий должна равняться S минус K * exp(-r*T). Возьмём условный контракт: S = 100, K = 100, T = 1, r = 0,05, v = 0,20, дивидендов нет.

Числитель d1 здесь равен 0,07: ln(100/100) даёт ноль, а r + v^2/2 = 0,05 + 0,02. Дисконтированный страйк K * exp(-0,05) = 95,12. Паритет ловит ошибку в счёте, но не в единицах: если ставку взять в процентах вместо долей везде сразу, он всё равно сойдётся. Поэтому доли и годы проверьте отдельно, до расчёта.

Как найти подразумеваемую волатильность?

Подразумеваемую волатильность находят обратным расчётом: берут рыночную премию и подбирают v, при которой формула даёт ту же цену. Готовой формулы для этого нет, значение ищут численно, перебором или методом Ньютона.

На нашем примере: при прочих равных премия колла 12,34 соответствует волатильности около 25%, премия 8,59 - около 15%, а 10,45 возвращает ровно 20%. Чем дороже рынок оценивает опцион, тем выше заложенная в него волатильность.

Подразумеваемая волатильность показывает ожидание рынка, заложенное в премию. Историческая считается по прошлым движениям цены, как у индикаторов волатильности, это другое число, и совпадать они не обязаны.

Почему расчётная цена отличается от цены сделки?

Расчётная цена отличается от цены сделки, потому что модель держится на допущениях, а премию назначают покупатели и продавцы. Формула считает волатильность и ставку постоянными до экспирации, не учитывает дивиденды без поправки и не знает про спред между покупкой и продажей.

У опционов на один актив с разными страйками рынок обычно закладывает разную подразумеваемую волатильность, и одна v на всю доску не подходит. Биржи используют свои варианты модели: в методике Московской биржи теоретическую цену считают по модели Блэка-Шоулза, а для части опционов также по модели Башелье. Американский опцион, который можно исполнить раньше срока, по OIC обычно считают биномиальной моделью.

Практический вывод: формула расчёта опциона нужна, чтобы понять, из чего складывается премия, и проверить, не переплачиваете ли вы за волатильность. Котировкой для сделки она не служит. Покупатель опциона может потерять всю премию, продавец - больше полученной премии, поэтому риск по позиции считают до входа.

Материал носит образовательный характер и не является индивидуальной инвестиционной рекомендацией. Торговля опционами связана с риском потери вложенных средств.